Как называется объединение геометрических фигур

Основные геометрические фигуры

Содержание:

Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур

На рисунках 2.1 и 2.2 изображены различные геометрические фигуры. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Часть любой геометрической фигуры ТЭ.КЖ6 ЯВ-ляется геометрической фигурой.

Определение. Любое множество точек называют геометрической фигурой.

На рисунке 2.3 отрезок АВ есть часть прямой а, на рисунке 2.4 круг есть часть круга , на рисунке 2.5 шар вписан в куб и является частью куба.

Объединение нескольких фигур есть геометрическая фигура. На рисунке 2.6 фигура состоит из трех кругов, на рисунке 2.7 фигура состоит из треугольника и квадратов, на рисунке 2.8 фигура составлена из двух тетраэдров, на рисунке 2.9 фигура состоит из нескольких кубов. Объединение обозначается знаком .

Пересечение геометрических фигур есть также геометрическая фигура. На рисунке 2.10 отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р. На рисунке 2.11 также отрезки MP и РК пересекаются в точке Р. Пересечением же отрезков ЕН и КХ на рисунке 2.12 является отрезок НК. Пересечение обозначается знаком .

Пример:

Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения двух треугольников. В каждом случае назовите их пересечение.

Решение:

На рисунках 2.13—2.19 показано, что пересечение двух треугольников может:

а) не содержать точек (рис. 2.13);

б) состоять из одной точки (рис. 2.14);

в) быть отрезком (рис. 2.15);

г) быть треугольником (рис. 2.16);

д) быть четырехугольником (рис. 2.17);

е) быть пятиугольником (рис. 2.18);

ж) быть шестиугольником (рис. 2.19).

На рисунках 2.13—2.19 изображены различные случаи пересечения треугольников, если они лежат в одной плоскости. Однако, если треугольники лежат в разных плоскостях, то пересечением может быть:

б) отрезок (рис. 2.21, 2.22);

в) пустое множество точек (рис. 2.23).

Изображение геометрических фигур

Изображение плоских фигур на листе бумаги (или на доске) подчинено некоторым правилам и выполняется с использованием различных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля.

При изображении или построении плоских фигур мы не меняем формы и размеры тех фигур, которые изображаем. При этом сохраняются длины отрезков, величины углов, параллельность прямых и т. д. В геометрии говорят, что при этом получаются равные фигуры. Если нужно изобразить очень большие или очень маленькие фигуры, то сохраняются формы, а размеры могут быть изменены (в одном и том же отношении). При этом получают так называемые подобные фигуры.

Изображать пространственные фигуры на плоскости (листе бумаги) намного сложнее.

Наиболее важные из правил изображения пространственных фигур:

— все линии, которые не видны, которые закрыты гранями (плоскостями), изображаются пунктирными линиями;

— плоскости на рисунках изображаются иногда параллелограммами (рис. 2.24), а чаще — произвольной областью (рис. 2.25);

— длины отрезков сохраняются не всегда, но всегда середины отрезков изображаются серединами их изображения (это свойство означает, что если на модели у нас отмечена середина ребра, то и на рисунке будет обозначена тоже середина ребра);

— параллельные прямые (отрезки), имеющиеся на реальной модели, на рисунках тоже изображаются параллельными прямыми (отрезками).

Точки и прямые

Точки могут произвольно располагаться в пространстве: лежать и не лежать на плоскости (на рис. 2.26 точки А и Б лежат на плоскости, а точка С не лежит), принадлежать различным фигурам и не принадлежать им (на рис. 2.27 точка А принадлежит шару, а на рис. 2.28 не принадлежит ему).

Пусть даны две точки А и В. Проведем через точки А л В прямую (рис. 2.29). У нас появляется еще одно, важное понятие геометрии — прямая, которая также состоит из точек.

Изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем ее часть (рис. 2.29).

Некоторые важные проблемы в геометрии решают путем введения законов — аксиом, которые принимаются без доказательства.

Слово «аксиома» в переводе с греческого языка означает «бесспорная истина, не требующая доказательств», т. е. очевидный факт, ясный сам по себе.

Аксиома 1.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: и т. д., а также соответствующими точками, лежащими на ней. Например, прямую на рисунке 2.29 можно обозначить АВ.

Взаимное расположение точек и прямых

Точки и прямые могут по-разному располагаться по отношению друг к другу (рис. 2.30).

Про точки М и К говорят, что они лежат на прямой , или что точки М и К принадлежат прямой . Точки А и В не лежат на прямой или не принадлежат прямой а.

Про прямую иногда говорят, что она проходит через точки. Так, прямая на рисунке 2.30 проходит через точки М, К. Можно также сказать, что прямая не проходит через точку А.

В курсе геометрии применяются некоторые удобные знаки, которые относятся к так называемой теории множеств: знак принадлежности и знак непринадлежности .

Запись читается: точка С принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30, можно записать:

Запись читается: точка D не принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30 можно записать:

Плоскости

Плоскости расположены в пространстве, в пространстве есть бесконечно много различных плоскостей. На рисунке 2.31 изображены несколько плоскостей, пересекающихся по одной прямой, а на рисунке 2.32 — параллельные друг другу плоскости.

На рисунке 2.33 изображены плоскость , прямые и точки А, В и С. Про точку А и прямую говорят, что они лежат в плоскости или принадлежат ей. Про точки Б и С и прямую говорят, что они не лежат в плоскости или не принадлежат ей.

Принадлежность прямой плоскости обозначают знаком — включение, который показывает, что некоторое множество точек принадлежит другому множеству точек, например:

— точка А принадлежит плоскости ; — точка Б не лежит в плоскости ;

— прямая принадлежит плоскости ; — прямая не принадлежит плоскости .

Одно из свойств взаимного расположения прямой и плоскости формулируется как аксиома — аксиома прямой и плоскости.

Аксиома 2.

Прямая, проходящая через две точки плоскости, принадлежит этой плоскости. (Аксиома прямой и плоскости.)

Аксиома 3.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. (Аксиома плоскости.)

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна, и только одна плоскость.

Любая прямая разбивает плоскость на два непустых множества (рис. 2.34). Объединение прямой с одним из образовавшихся множеств называется полуплоскостью. Прямую называют границей полуплоскости. На рисунке 2.34 прямая одновременно является границей обеих полуплоскостей.

Плоскость разбивает пространство на два множества, которые на рисунке 2.35 заштрихованы. Объединение этой плоскости с одним из образовавшихся множеств и называется полупространством. Плоскость называется границей полупространства. Из рисунка 2.35 ясно, что плоскость определяет сразу два полупространства.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

Свойства геометрических фигур на плоскости

Лекция 5. Понятие геометрической фигуры.

В окружающем нас мире существует множество материальных предметов раз­ных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.

В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура. Геомет­риче­ская фигура (или кратко: фигура) – это мысленный образ реального пред­мета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание.

Геометрические фигуры разделяют на плоские и пространственные. В плани­метрии рассматриваются только плоские фигуры.

Плоской называется такая геометрическая фигура, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.

Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны, например, треугольник, квадрат, окружность и др.:

Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является геометри­ческой фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой. На рисунке ниже левая фигура состоит из квадрата и четырёх треугольников, а правая фигура состоит из окружности и частей окружности:

Основные геометрические фигуры

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является ос­новой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбива­ется па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что ко­нец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой. Ломаная, не имеющая самопересечений, называется простой.

Это ­– трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:

Лекция 6. Выпуклые и невыпуклые фигуры.

Геометрическая фигура называется плоской, если все тонки фигу­ры принадлежат одной плоскости.

Примером плоских геометрических фигур являются: прямая, от­резок, круг, различные многоугольники и др. Не являются плоски­ми такие фигуры, как шар, куб, цилиндр, пирамида и др.

На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Геометрическая фигура называется выпуклой, если она целиком со­держит отрезок, концами которого служат любые две точки, принад­лежащие фигуре (рисунок).

Примерами выпуклых фигур являются: круг, различные треу­гольники, квадрат. Точку, прямую, луч, отрезок, плоскость также считают выпуклыми фигурами.

Есть несколько разных (но эквивалентных) определений выпуклого многоугольника. Приведем наиболее известные и часто встречающиеся из них. Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих условий:

а) он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

б) он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полу­плоскостей;

в) любой отрезок с концами в точках, принадлежащих много­уголь­нику, целиком ему принадлежит.

2. Фигуру называют выпуклой, если любой отрезок с концами в точ­ках фигуры целиком принадлежит ей.

Дети, например, в процессе игр или рисования знакомятся с точкой, отрезком, различными линиями, выделяя из них прямую, кривую, ломаную, учатся распознавать некоторые их свойства.

1. «Какая дорога от леса до дома короче?» (рис. 1)

2. «Поросята живут в домиках, расположенных на берегах реки. Они не умеют плавать. Кто из поросят может пойти в гости друг к другу?» (рис. 2)

Рис. 1 Рис. 2

Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю об­ласти. Дети рано усваивают, что значит «внутри» и «вне». Напри­мер, это происходит при выполнении задания на закрашивание фи­гуры, то есть ее внутренней области.

Геометрические фигуры, с которыми рано знакомятся дети (круг, квадрат, треугольник и др.), представляют собой замкнутые линии (границы фигур) с их внутренней областью. Границей круга является окружность. Границей многоугольников является ломаная линия, которая состоит из отрезков. В геометрии все эти понятия имеют определения.

Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками, называемых кон­цами отрезка.

Луч (полупрямая) — это часть прямой, состоящая из всех ее то­чек, лежащих по одну сторону от заданной на ней точки (начала луча).

Угол – это меньшая часть плоскости, ограниченная двумя луча­ми, выходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка – вершиной угла (рис. 59).

Круг можно определить как фигуру, состоящую из окружности и ее внутренней области.

Лекция 7. Основные свойства отрезка, угла, треугольника, четырехугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции, окружности и круга

ОТРЕЗОК

Основные свойства отрезка

Две точки прямой делят эту прямую на три части: два луча и отрезок.

Говорят, что два отрезка пересекаются, если они имеют только одну общую внутреннюю точку. Чтобы измерять отрезки (а точнее – длины отрезков), нужно ввести единицу измерения – единичный отрезок, в ка­честве которого можно брать отрезки длиной 1 м, 1 км, 1 мм, 1 дюйм и т. д.

Определение. Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка таким образом, что:

j равные отрезки имеют равные длины;

k если отрезок состоит из нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин отрезков, его составляющих.

Аксиома. Каждый отрезок имеет определенную длину больше нуля.

Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением (или: два отрезка называются равными, если их длины равны.). Равные отрезки имеют равные длины.

Из двух отрезков большим считается тот, длина которого больше.

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. Если XY = 18 см, то значит, расстояние между точками X и Y равно 18.

Основные свойства измерения отрезков.

По величине углы можно разделить на 4 класа:

Основные свойства угла

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Свойства смежных углов

Два угла называются вертикальными, если стороны однго из них являются дополнительными лучами другого.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Треугольник

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Углом DABC при вершине A называется угол, образованный лучами AB и AC.

Внешним углом при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.

Биссектрисой треугольника нвзывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Свойства биссектрисы треугольника:

Классификация треугольников:

по углам:

по сторонам:

треугольники со сторонами различной длины (разносторонние или треугольники общего вида);

равнобедренные треугольники (в том числе равносторонние)

Основные свойства треугольника В любом треугольнике:

1. Против бόльшей стороны лежит бόльший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180º.

Из свойств 2–3 следует: равно­стороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Ð BCD = Ð A + Ð B.

5. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности: b – c 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼(AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Основные свойства параллелограмма,

Параллелограммом называется четырёх­уголь­ник, про­тиволежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие сто­ро­ны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Основные свойства ромба, прямоугольника,

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Основные свойства квадрата,

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Основные свойства трапеции,

Трапецией называется четырёхуголь­ник у которого только две противо­лежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоидом называется четырёхугольник, имеющий две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сто­рон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окруж­ность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

Основные свойства окружности

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

2. Формула длины окружности через радиус:

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R, который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE, который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α, называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β, называется угол, образованный двумя радиусами.

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

2. Формула площади круга через диаметр:

Определение. Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью..

Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом.
Точка O — это центр и круга и окружности.

Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

Источник