Как называется множество всех значений

Помогите решить тест!

1. При каком способе задания известная формула, по которой по заданному значению аргумента X можно найти соответствующее значение y?
1) Словесный способ
2) Графический способ
3) аналитический способ
4) Табличный способ

2. Как называется множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y= f(x) определена?
1) Область функции
2) Область значения функции
3) Нули функции
4) Область определения функции

3. Как называется множество всех действительных значений y, которые принимает функция?
1) Начальные значения функции
2) Область определения функции
3) Область значения функции
4) Область функции

4. Укажите график чётной функции:
1) 1
2) Нет чётного графика
3) 2
4) 3

5. График какой функции симметричен относительно начала координат (0;0)
1) Чётной
2) Ни чётной ни нечётной
3) Общего вида
4) Нечётной

6. Какой график функции является возрастающим?
1) 3
2) Нет возрастающего графика функции
3) 1
4) 2

7. Сколько точек максимума изображено на графике функции?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5

8. Сколько точек минимума изображено на графике функции?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5

9. Если функция принимает максимальное или минимальное значение на рассматриваемом диапазоне области функции, то она будет называться?
1) Глобальным максимумом
2) Главной
3) Глобальным экстремумом
4) Глобальным минимумом

Источник

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Решение

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

Решение

Решение

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Решение

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Решение

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Решение

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Решение

Решение показано на графике:

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

Теперь найдем соответствующие значения функции:

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

Источник

Числовые множества и функции

2. Числовые множества и функции

2.1. Числовая ось. Множества на числовой прямой

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия.

Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество называются элементами, или точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. д. Т. е. объекты могут иметь самую различную природу, какую себе можно только представить.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными.

Факт принадлежности элемента а множеству А условно принято обозначать записью . Если элемент b не является элементом множества А, то пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ø. Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А, что эквивалентно символьной записи .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается E = A\B.

Пример 2.1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А = <1; 3; 6; 8>, В =

Ответ: , ,

Дополнением множества называется множество А0, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовой оси). Числовой прямой называют прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой оси – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Поэтому, например, решениями неравенства│х −а│ 0). будут точки открытого интервала (а – ε, а + ε), т. е. точки интервала, удовлетворяющего неравенству а – ε 0), называется ε – окрестностью точки а (рис. 2.1).

2.3. Понятие функции одной переменной

Определение функции. Рассмотрим два множества Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество Y).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – Y.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Буквы для обозначения зависимой и независимой переменной можно выбирать любые, например

это одна и та же функция, один и тот же закон сопоставления.

Пусть Х и Y множества вещественных чисел.

Значения х и у могут быть любой физической природы. На данном этапе мы будем рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются числовыми множествами.

Область определения функции будем иногда обозначать символом D, а область значений – символом E

1) Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: D = (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

2) Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х > 1. Запишем решение в виде интервала: D = (1, ∞).

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

Пусть рассматривается какое-либо утверждение В в связи с некоторым утверждением А. Если из В следует А, т. е. В→А, то А является необходимым условием для В. Если же из А следует В, т. е. А→В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 является необходимым условием для В (делимость на 6 →делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 является достаточным условием делимости на 6 (делимость на 12 → делимость на 6).

Таким образом, необходимые условия − те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия − те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

2.3. Способы задания функции

Этот способ не всегда приемлем. Например, для функции

невозможно записать в таблицу все значения, которые принимает х. Но он очень важен, например, для задания функций, полученных из эксперимента.

Пример: В киоске продается мороженое. Зависимость количества проданных за день порций от цены мороженого (при прочих равных условиях) отражена в табл. 2.2:

2). Графический – наиболее наглядный способ задания функции.

называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). Для предыдущего примера график функции имеет вид (рис. 2.2)

Для большей наглядности полученные точки графика соединены отрезка­ми прямых.

Отметим, что следующая кривая (рис. 2.3) не является графиком функ­ции, так как в промежутке от a до b нарушается требование однознач­ности из определения функции, каждому значению х из этого промежут­ка отвечают несколько значений у.

Наряду с таким (как в этих примерах) явным заданием функции функциональная зависимость между переменными может быть задана уравнением

связывающим переменные х и у. Здесь зависимая переменная явно не выражена через независимую, например х3- у3+ 4 = 0. Такого типа функциональная зависимость между переменными х и у называется неявной. Более строго говоря, уравнение F(х, у) = 0 определяет у как неявную функцию от х, если каждому значению х из некоторого множества X можно однозначно сопоставить значение у так, что полу­ченная пара значений (х, у) обращает уравнение

F(x, у) = 0 в тож­дество. В одних случаях от неявного задания функции несложно перейти к явному. Например, если

Так быва­ет, например, при задании движения объекта на плоскости, когда каж­дая координата х, у задается как функция времени:

Тогда обе функции в совокупности определяют траекторию движения этого объекта.

5) Способ, когда функция определяется несколькими формулами, действующими на различных участках, например:

График этой функции

График этой функции

Функция обозначается у = sign x.

Существуют функции; которые ни одним из предыдущих, способов задать нельзя. Их задают словесным описанием закона, по которому значениям одной переменной сопоставляют значения другой переменной.

Эта функция называется функцией Дирихле. Ни графически, ни аналити­чески, ни таблично ее описать нельзя.

Иногда подобным образом задают функцию, которую нельзя задать аналитически, а затем строят ее график.

Пример: у(х) есть наибольшее целое число, меньшее или равное х. Обозначают: у = Е(х).Например, Е (6,2) = 6. График этой функции

есть функция натурального аргумента. Ее график имеет вид:

2.4. Обратная функция

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что f (x) = y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: (Взято из «Избранное»/ дискретная математика/ 4.1.2. Сравнение и отображение множеств. url.

http://www. *****/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/theory. html)

Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Х и об­ластью изменения Y. По определению функции каждому значению х из X ставится в соответствие значение у из Y. Будем рассматривать такие функции, что двум разным значениям аргумента x1 и х2 соответствуют разные значения функции, т. е. при x1 ≠ х2 справедливо f(x1) ≠ f(х2).

Тогда для каждого значения у из Y найдется такое единственное значение х из X, что f(x) = у.

Правило, сопоставляющее каждому у из Y указанное значение х, определяет функциональную зависимость

φ(у) = х. Эта функция назы­вается обратной к функции

у = f(x). Она обозначается х = f-1(y).

Областью определения обратной функции является множество значений данной функции f(x). График функции

1. Для функции у = ах обратной является функция

х = loga y или у = loga х. См. рис. 2.9.

2. Для функции у = х3 обратной является функция

Использование обратной функции позволяет перейти от параметри­ческого задания функции к явному:

пусть функция задана параметрически:

2.5. Сложная функция

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – Y, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

2.6. Ограниченная функция

Функция называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что для всех х справедливо неравенство Аналогично определяется функция, ограничен­ная снизу. Например, функция ограничена снизу, для всех х. Здесь М = 0.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, функция

2.7. Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

если а = 1/2, k=1, то у = х1/2 (рис. 2.12).

− если k >0, то гипероола располо­жена в 1-й и 3-й четвертях (рис 2.13);

4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

(графики не приводятся)

2.6. Примеры функции из экономики

1. Функция спроса от цены Q = f(p) определяет зависимость величины Q спроса на товар от цены р этого товара (при прочих равных условиях). Рассмотрим примеры функций спроса от цены.

2). При р = 0 спрос равен 10 ед. С увеличением цены спрос падает и, начиная с р = 20, становится равным нулю. Поэтому правильнее было бы записать эту функцию спроса так:

Однако принято писать так, как указано в условии примера.

Как правило, функция спроса есть убывающая функция, то есть с возрастанием цены спрос на данный товар падает (в экономике такое явление называется законом спроса). Вместе с тем бывают случаи, когда этот закон не действует, и в последующем студенты смогут по­знакомиться с такими «неправильными» товарами.

2. Функция предложения (от цены) показывает количество Q това­ра, которое производитель готов предложить рынку при данной цене р.

Пока цена меньше 4, производителю невыгодно поставлять данный товар, предложение равно нулю. Опять же можно отметить, что более аккуратной с математической точки зрения была бы такая запись:

Известны и другие функции, применяемые для описания экономических законов.

Источник