Как можно расписать cos 2x

cos ^2 (2x) =

Здравствуйте!
Подскажите, чему может быть равно тригонометрическое выражение cos ^ 2 (2x)? Есть формулы для квадрата косинуса, но для 2х нет.
Спасибо!

Данное выражение является квадратом косинуса 2х (двойного угла). Среди множества тригонометрических тождеств (или формул) можно найти две формулы, которые касаются квадрата косинуса. При этом аргументами в этих формулах являются х и х/2. Причем если сравнить эти две формулы очевидным является различие только в аргументах тригонометрических функций.
Для квадрата косинуса двойного угла также можно получить соответствующую формулу. Выполним математические преобразования, которые помогут понять как можно получать подобные формулы для косинуса не только двойного угла, а практически любого аргумента (3х, 4х и т.п.).
Необходимо расписать, чему будет равен квадрат косинуса 2х. Для этого выполним замену аргумента 2х на любую переменную, например, u. Теперь воспользуемся формулой квадрата косинуса угла, используя переменную u = 2x:

Вернемся к переменной х, используя примененную замену:

В процессе решения тригонометрических уравнений или при упрощении выражений такую замену выполнять принято устно, не расписывая преобразования как в данном примере. С практикой такие замены научитесь выполнять без особых размышлений.

Источник

Формулы тригонометрии

Формул в тригонометрии много.

Запомнить их механически очень сложно, почти невозможно. На занятиях многие школьники и студенты пользуются распечатками на форзацах учебников и тетрадей, плакатами на стенах, шпаргалками, наконец. А как быть на экзамене?

Однако, если Вы присмотритесь к этим формулам повнимательнее, то обнаружите, что все они взаимосвязаны и обладают определенной симметрией. Давайте проанализируем их с учетом определений и свойств тригонометрических функций, чтобы определить тот минимум, который действительно стоит выучить наизусть.

I группа. Основные тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα ; ctgα = ____ cosα sinα ;

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю. Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

II группа. Формулы сложения

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg(α + β) = tgα + tgβ _________ 1 − tgα·tgβ ;

sin(−α) = − sin(α); cos(−α) = cos(α); tg(−α) = − tg(&#945).

Из всех тригонометрических функций только косинус является четной функцией и не изменяет свой знак при смене знака аргумента (угла), остальные функции являются нечетными. Нечетность функции, фактически, означает, что знак минус можно вносить и выносить за знак функции. Поэтому, если Вам встретится тригонометрическое выражение с разностью двух углов, всегда можно будет понимать его как сумму положительного и отрицательного углов.

Например, sin(x − 30º) = sin( x + (−30º) ).
Дальше пользуемся формулой суммы двух углов и разбираемся со знаками:
sin( x + (−30º) ) = sinx·cos(−30º) + cosx·sin(−30º) =
= sinx·cos30º − cosx·sin30º.

Таким образом все формулы, содержащие разность углов, можно просто пропустить при первом заучивании. Затем стоит научиться восстанавливать их в общем виде сначала на черновике, а потом и мысленно.

Это поможет в дальнейшем быстрее догадываться о том, какие преобразования нужно применить для решения той или иной задачи из тригонометрии.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

Ш группа. Формулы кратных аргументов

cos2α = cos 2 α − sin 2 α ;

tg2α = 2tgα _______ 1 − tg 2 α ;

sin3α = 3sinα − 4sin 3 α ;

Необходимость в использовании формул для синуса и косинуса двойного угла возникает очень часто, для тангенса тоже нередко. Эти формулы следует знать наизусть. Тем более, что трудностей в их заучивании нет. Во-первых, формулы короткие. Во-вторых, их легко контролировать по формулам предыдущей группы, исходя из того, что 2α = α + α.
Например:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Однако, если Вы быстрее выучили эти формулы, а не предыдущие, то можно поступать и наоборот: вспоминать формулу для суммы двух углов можно по соответствующей формуле для двойного угла.

Например, если нужна формула косинуса суммы двух углов:
1) вспоминаем формулу для косинуса двойного угла: cos2x = cos 2 x − sin 2 x;
2) расписываем её длинно: cos(x + x) = cosx·cosx − sinx·sinx;
3) заменяем один х на α, второй на β: cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Потренируйтесь аналогично восстанавливать формулы для синуса суммы и тангенса суммы. В ответственных случаях, таких как например ЕГЭ, проверяйте точность восстановленных формул по известным значениям функций для основных углов первой четверти: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка предыдущей формулы (полученной заменой в строке 3):
пусть α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
тогда cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3 _ /2, sinα = sin60° = √3 _ /2, sinβ = sin30° = 1/2;
подставляем значения в формулу: 0 = (1/2)·( √3 _ /2) − ( √3 _ /2)·(1/2);
0 &#8801 0, ошибок не обнаружено.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2 ;

sinα − sinβ = 2·sin α − β ____ 2 ·cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2·cos α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2 ;

cosα − cosβ = −2·sin α − β ____ 2 ·sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin(α + β) ________ cosα·cosβ ;

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________ 2 ·cos 90º − (−30º) __________ 2 =

= 2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Таким образом, формулы разности синусов и тангенсов не обязательно сразу заучивать наизусть.
С суммой и разностью косинусов дело обстоит сложнее. Эти формулы не взаимозаменяемы. Но опять же, пользуясь четностью косинуса, можно запомнить следующие правила.

Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.

Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.

И всё-таки эта группа формул не самая лёгкая для запоминания. Это тот случай, когда лучше меньше зубрить, но больше проверять. Чтобы не допустить ошибки в формуле на ответственном экзамене, обязательно сначала запишите её на черновике и проверьте двумя способами. Сначала подстановками β = α и β = −α, затем по известным значениям функций для простых углов. Для этого лучше всего брать 90º и 30º, как это было сделано в примере выше, потому что полусумма и полуразность этих значений, снова дают простые углы, и Вы легко можете увидеть, как равенство становится тождеством для верного варианта. Или, наоборот, не выполняется, если Вы ошиблись.

Пример проверки формулы cosα − cosβ = 2·sin α − β ____ 2 ·sin α + β ____ 2 для разности косинусов с ошибкой !

1) Пусть β = α, тогда cosα − cosα = 2·sin α − α _____ 2 ·sin α + α _____ 2 = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0. cosα − cosα &#8801 0.

2) Пусть β = − α, тогда cosα − cos(− α) = 2·sin α − (−α) _______ 2 ·sin α + (−α) _______ 2 = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0. cosα − cos(− α) = cosα − cosα &#8801 0.

Эти проверки показали, что функции в формуле использованы правильно, но из-за того, что тождество получалось вида 0 &#8801 0, могла быть пропущена ошибка со знаком или коэффициентом. Делаем третью проверку.

3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда cos90º − cos30º = 2·sin 90º − 30º ________ 2 ·sin 90º + 30º ________ 2 = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·( √3 _ /2) = √3 _ /2.

cos90 − cos30 = 0 − √3 _ /2 = − √3 _ /2 ≠ √3 _ /2.

Ошибка была действительно в знаке и только в знаке перед произведением.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

sinα·sinβ = 1 _ 2 · ( cos(α − β) − cos(α + β) ) ;

cosα·cosβ = 1 _ 2 · ( cos(α − β) + cos(α + β) ) ;

Рассмотрим пример: нужно преобразовать произведение sin5x·cos3x в сумму двух тригонометрических функций.
Поскольку в произведение входят и синус, и косинус, то берём из предыдущей группы формулу для суммы синусов, которую уже выучили, и записываем её на черновике.

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2

Заменяем в формуле на черновике значения углов, выраженные через переменные α и β, на значения углов, выраженные через переменную x.
Получим sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

Делим обе части равества на 2 и записываем его на чистовик справа налево sin5x·cos3x = 1 _ 2 (sin8x + sin2x). Ответ готов.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VI группа. Формулы понижения степени

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2 ;

sin 2 α = 1 − cos2α _________ 2 ;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4 ;

Первые две формулы этой группы очень нужны. Применяются часто при решении тригонометрических уравнений, в том числе уровня единого экзамена, а также при вычислении интегралов, содержащих подинтегральные функции тригонометрического типа.

Возможно, будет легче запомнить их в следующей «одноэтажной» форме
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 − cos2α,
а разделить на 2 всегда можно в уме или на черновике.

Необходимость в использовании следующих двух формул (с кубами функций) на экзаменах встречается гораздо реже. В другой обстановке у Вас всегда будет время воспользоваться черновиком. При этом возможны следующие варианты:
1) Если Вы помните последние две формулы III-ей группы, то пользуйтесь ими, чтобы выражать sin 3 α и cos 3 α путем несложных преобразований.
2) Если в последних двух формулах этой группы Вы заметили элементы симметрии, которые способствуют их запоминанию, то записывайте «эскизы» формул на черновике и проверяйте их по значениям основных углов.
3) Если, кроме того, что такие формулы понижения степени существуют, Вы о них ничего не знаете, то решайте задачу поэтапно, исходя из того, что sin 3 α = sin 2 α·sinα и прочих выученных формул. Потребуются формулы понижения степени для квадрата и формулы преобразования произведения в сумму.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VII группа. Половинный аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 2 ; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2 ; _____

Не вижу смысла в заучивании наизусть этой группы формул в том виде, в котором они представлены в учебниках и справочниках. Если Вы понимаете, что α есть половина от 2α, то этого достаточно, чтобы быстро вывести нужную формулу половинного аргумента, исходя из первых двух формул понижения степени.

Это касается также тангенса половинного угла, формула для которого получается делением выражения для синуса на соответствующее выражение для косинуса.

Не забудьте только при извлечении квадратного корня поставить знак ±.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VIII группа. Универсальная подстановка

sinα = 2tg(α/2) _________ 1 + tg 2 (α/2) ;

cosα = 1 − tg 2 (α/2) __________ 1 + tg 2 (α/2) ;

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы оценить необходимые усилия на заучивание этих формул.

IX группа. Формулы приведения.

X группа. Значения для основных углов.

Пример задачи на использование формул тригонометрии

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x, 3x, 8x и 6x. Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций.
Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел Преобразование произведения функций в сумму или разность).

Выражая из этих равенств произведения, подставляем их в уравнение. Получим:

Умножаем на 2 обе части уравнения, раскрываем скобки и приводим подобные члены

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответов
x₁ = πn/3, nϵZ
x₂ = π/22 + πk/11, kϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес mathematichka@yandex.ru. Буду весьма признательна.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Источник

Как можно расписать cos 2x

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

cos 2x = 1 – 2 sin 2 x

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos 2 x – sin 2 x.

3) cos 2x = 1 – 2 sin 2 x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos 2 x + sin 2 x = 1.
Из этого тождества следует, что cos 2 x = 1 – sin 2 x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos 2 x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – sin 2 x – sin 2 x = 1 – 2sin 2 x.

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

tg х + tg х 2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
1 – tg х tg х 1 – tg 2 х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

sin 2α 2 sin α cos α
——— = —————— = 2 cos α
sin α sin α

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg 2 α = ———.
sin 2 α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

1 1 4
ctg α = —— = —— = ——
tg α 3/4 3

2) Теперь находим значение синуса:

1 1 1 1 9
sin 2 α = ————— = ————— = ———— = —— = ——
1 + ctg 2 α 1 + (4/3) 2 1 + 16/9 25/9 25

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos 2 α + sin 2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

9 16
cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – —— = ——
25 25

4) Осталось применить формулу двойного угла:

3 4 2 · 3 · 4 24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = —— = 0,96.
5 5 5 · 5 25

Пример 3 : Вычислить

π π
cos 2 — – sin 2 —
8 8

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos 2 x – sin 2 x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

Источник

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

Привет, самый лучший ученик во Вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Мы решим 39(!) примеров, от самых простых, до самых сложных.

И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Тригонометрические уравнения — коротко о главном

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:

Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Простейшие тригонометрические уравнения

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \( \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)\) в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\( \displaystyle 3x\)).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу: «Что же такое тригонометрические уравнения?»

Тригонометрические уравнения –это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

Где \( \displaystyle a\) – некоторое постоянное число.

Например: \( \displaystyle 0,5;

\( \displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \( \displaystyle x\), например \( \displaystyle f\left( x \right)=x,

f\left( x \right)=\frac<\pi x><7>\) и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии«

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ?

Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 первичных баллов из 32!

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

\( \displaystyle cos\left( 3-sin\left( x \right) \right)=2\)

\( \displaystyle sin\left( 2<^<2>>-2x+1 \right)=-3\)

Корней не имеют.

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Что такое \( \displaystyle n\) и что такое, например \( \displaystyle arcsin\alpha

Отвечаю на все по порядку:

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ.

И число \( \displaystyle n\) и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо \( \displaystyle n\) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: \( \displaystyle n\in Z\) – что означает, что \( \displaystyle n\) – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, \( \displaystyle arcsin\alpha \) надо как «угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha \)«

Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

\( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<3>> <2>\right)\)

\( \displaystyle \frac<\pi ><6>\) и \( \displaystyle \frac<\pi ><3>\).

Если «арка» берется от отрицательного числа?

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

И внимание.

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

Решение 11-ти простейших тригонометрических уравнений

Уравнение 1. \( \displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)

Запишу по определению:

Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.

Источник