Доли. Обыкновенные дроби
Нам известно, что при подсчете чего-либо мы используем натуральные числа, но часто приходится что-то целое делить на части. Например, нам дан апельсин:
Допустим, нам надо разделить апельсин на 6 равных частей:
В этом случае каждую часть называют долей. То есть целый апельсин разделили на 6 частей, поэтому мы можем сказать, что апельсин это 1 целая, и 6 долей апельсина тоже составляет 1 целую:
Название долей зависит от числа частей. Каждая доля в нашем случае будет называться «одной шестой долей апельсина» или, короче, «одной шестой апельсина«. Если апельсин поделить на 8 частей, то мы получим восьмые доли. При этом, чем на большее число частей делят целое, тем меньше доля.
Например, рассмотрим брусок:
Разделим его на 5 частей:
То есть мы получим пятые доли бруска. Закрасим две части красным:
Теперь закрасим три части бруска:
Мы закрасили три пятые доли. Дробь, обозначающая эти доли, записывается так: 
.
Теперь закрасим желтым цветом пять частей бруска:
Мы закрасили пять пятых долей, то есть мы закрасили весь брусок. Дробь, обозначающая эти доли, записывается так: 
.
Рассмотрим рисунок ниже:
Определения
Правильная дробь – это дробь, числитель которой меньше знаменателя.
Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Обыкновенные дроби
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Доля целого
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
Виды дробей:
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями
Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.
Доли целого
Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.
Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.
Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.
Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.
Половина – одна вторая доля предмета.
Треть – одна третья доля предмета.
Четверть – одна четвертая доля предмета.
Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры
Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.
Числитель и знаменатель
Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).
Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Черта дроби как знак деления
Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.
При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10 : каждому человеку достанется семь десятых долей.
Равные и неравные обыкновенные дроби
Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.
В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.
Дробные числа
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Обыкновенные дроби в математике
Не всегда людям приходится иметь дело с целыми числами, обыкновенные дроби также надо знать каждому. Даже если вы не математик, постоянно возникает необходимость то отгородить одну четверть участка, то разрезать фрукт или пирог, чтобы досталось всем поровну, то прибавить к пятой части стакана крупы еще осьмушку. Во всех этих случаях вы, сами того не желая, вспоминаете, что же такое обыкновенные дроби и как с ними обращаться.
Разбираемся с долями
Допустим, вас в компании трое, и у вас есть всего один банан. Как сделать, чтобы никому не было обидно и всем досталось хотя бы понемногу? Это очень просто – всего-то и нужно, что разрезать фрукт на три абсолютно одинаковые части.
Банан был целый, а вот то, что достанется каждому, будет считаться его долей.
Еще нагляднее, если у вас есть что-то, что сразу делится на частички. Пусть будет мандарин. Каждая его долька является частью целого. Давайте не будем его есть сразу, а посчитаем, сколько было частиц. Например, 12. Тогда каждая их них является от единицы, то есть от мандарина.
С бананом — то же самое. Целый — 1, а каждый кусочек, который мы отрезали — ( frac<1> <3>) .
Вот мы и получили две обыкновенные дроби – и ( frac<1> <3>) .
А что будет, если, к примеру, кто-то возьмет не одну треть от банана, а две? Или, скажем, каждому перепадет по 2 или 3 мандариновых дольки?
Тогда мы так и запишем: Пете досталось ( frac<2> <3>) банана, или ( frac<2> <12>) мандарина, а то даже и ( frac<3> <12>) .
Как называются части?
В некоторых случаях доли называются так, как они записаны – например, та же самая никак, кроме одной двенадцатой, и не именуется.
А вот ( frac<1> <2>) имеет свое особое название – половина.
От банана каждому досталась треть. Если бы в комнате было четыре человека, каждому перепало бы по четверти. Для того чтобы определить, какие имеются в виду частицы и сколько их, и применяются обыкновенные дроби. И, конечно, мы всегда можем обозначить буквами и то, и другое.
Важно! Очень часто доли целого применяются в метрических системах. Например, сантиметр – это сотая доля метра, или ( frac<1> <100>) .
Поговорим об элементах
Теперь давайте разберемся, как называется каждый элемент этой комбинации:
Рис. 1 Обозначения элементов обыкновенной дроби
Дроби бывают очень странными! Например, вы видите в задачнике такую — ( frac<15> <1>).
Удивляться не надо. В обычных-то случаях то, что написано внизу, больше. И это правильные дроби. А если наоборот, как в последнем примере, или же элементы одинаковые — неправильные.
Зачем нужна черта?
Если мы делим один предмет на несколько частей, в правой части будет стоять единичка. А если у нас 3 авокадо, а разделить нужно на четверых, что тогда? Тогда, хочешь не хочешь, придется считать.
Со знаменателем все понятно, делить надо на четверых. А как быть с числителем? Пишем количество целых фруктов, то есть 3. В итоге получается, что каждому достанется ( frac<3> <4>) .
Сравниваем дроби
Со сравнением целых чисел все понятно — там видно, какое больше, а какое меньше. А как быть с дробными? Ничто не мешает сравнить и их.
Если, к примеру, мы разделили что-то на 6 частей, и кому-то досталась ( frac<1> <6>) , а кому-то — ( frac<3> <6>) , то всем понятно, что 3 больше одного.
То есть из двух дробей с одинаковой нижней частью больше будет та, у которой больше верхняя.
Когда каждый взял по ( frac<2> <6>) , тоже ясно, что всем поровну и никто не в обиде. И числители, и знаменатели одинаковы, значит, и дроби тоже равны.
Рис. 2 Правила сравнения дробей
Внизу — разные числа
Иногда сравнить дроби бывает довольно трудно – именно те, у которых разные знаменатели. В этом случае практикуется приведение к общему знаменателю, без него просто никак не обойтись.
Например, давайте попробуем сравнить ( frac<2> <3>) и ( frac<3> <4>) . Как это сделать? Надо найти такое число, которое делится на обе нижние части. Причем это должно быть самое маленькое из всех возможных.
Это число 12. В обоих дробях пишем его в знаменатель ( frac <12>) и ( frac <12>) .
Да, но что при этом делать с числителем? Ведь ясно, что его нельзя оставлять так, как есть – сначала были у нас треть и четверть, а теперь стала двенадцатая часть.
Для этого верхние части дробей умножим на столько же, на сколько и нижние. Получим соответственно ( frac<8> <12>) там, где было две трети, и ( frac<9> <12>) вместо трех четвертей. Остается сравнить, какой числитель больше.
Как видите, обыкновенные дроби очень полезны, и надо в них разобраться. Но это не является сложной темой, если один раз хорошенько вникнуть что к чему. Для наглядности предлагаем вам посмотреть еще и видео, где вы найдете больше примеров по этой теме.
Урок 37 Бесплатно Деление и дроби
Сегодня на уроке речь пойдет о хорошо уже известной вам арифметической операции деления.
Вы уже имеете общее представление о делении натуральных чисел, знаете, как называются компоненты данной математической операции, и по каким правилам находится каждое из них.
До сих пор при решении различных задач на деление мы находили частое чисел, где делимое было большее делителя.
Давайте попробуем разобраться, возможно ли выполнять деление меньшего натурального числа на большее, выясним, что в таком случае будет получаться, и как данное действие правильно записывать.
Разберем решение уравнений, содержащих дроби.
Рассмотрим решение текстовых задач с использованием обыкновенных дробей.
Запись деления натуральных чисел в виде дробного числа
В жизни нам часто приходится что-то делить или чем-то делиться.
Например, в детском саду дети нередко делят игрушки; чтобы пицца или праздничный торт достались каждому гостю, мы делим его на кусочки; с друзьями мы всегда рады поделиться яблоком, мороженным, конфетами, шоколадкой и др.
Так, если нам придется поделить два яблока на двоих, то это для нас не составит большого труда.
Каждому, в таком случае, достанется по одному яблоку.
Математически данное действие запишем в виде равенства: 2 ÷ 2 = 1.
Рассмотрим ситуацию посложней.
Допустим у нас есть две груши и их нужно разделить между четырьмя друзьями.
Как же нам угостить каждого и не обидеть никого?
На первый взгляд это кажется невозможным (число 2 не делится нацело на 4).
Однако выход есть, разрежем первую и вторую грушу на четверти (т.е. каждую грушу разрежем на четыре равные части).
В итоге у нас получится 8 равных частей- 8 долей груши.
Каждая из этих частей- это \(\mathbf<\frac<1><4>>\) часть груши.
Всем четырем желающим попробовать фрукт достанется по \(\mathbf<\frac<1><4>>\) от каждой груши.
Таким образом каждый из друзей получит по две доли груши, т.е.\(\mathbf<\frac<1> <4>+ \frac<1><4>>\).
Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:
В итоге каждый друг получит\(\mathbf<\frac<2><4>>\) груши.
Дробь \(\mathbf<\frac<2><4>>\) образовалась при делении двух (яблок) на четыре (части).
В результате, никого не обидев, нам удалось разделить две груши на четверых желающих их попробовать.
Рассмотрим еще одну, казалось бы, неразрешимую ситуацию.
Разделим поровну две одинаковые плитки шоколада на троих друзей.
Как же это осуществить?
Шоколадных плиток две, а друзей трое (число 2 нацело не разделить на 3).
Давайте разломим каждую плитку шоколада на 3 равные части.
В результате у нас получится 6 равных частей- 6 долей шоколада.
Каждая такая доля шоколадной плитки представляет собой \(\mathbf<\frac<1><3>>\) плитки.
Угостим каждого друга \(\mathbf<\frac<1><3>>\) части от каждой шоколадной плитки.
В таком случае каждому из друзей достанется по две доли шоколадной плитки, т.е.\(\mathbf<\frac<1> <3>+ \frac<1><3>>\).
Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:
В итоге каждый друг получит\(\mathbf<\frac<2><3>>\) шоколадной плитки.
Дробь \(\mathbf<\frac<2><3>>\) образовалась при делении двух (шоколадных плиток) на три (части).
Так мы смогли, никого не обидев, разделить две шоколадные плитки на троих желающих попробовать шоколад.
Обобщая рассмотренные выше примеры, мы можем заметить, что обыкновенная дробь \(\mathbf<\frac
Мы получили прямую связь между обыкновенной дробью и арифметической операцией деления.
С помощью обыкновенной дроби можно записать частное двух любых натуральных чисел.
Дробную черту (горизонтальную или наклонную), которая отделяет числитель от знаменателя, применяют как знак деления.
Знак деления и дробная черта представляет одно и тоже арифметическое действие- деление, т.е. m ÷ n и \(\mathbf<\frac
Следовательно,m ÷ n и \(\mathbf<\frac
Результат деления двух натуральных чисел может быть натуральным числом или дробным числом.
Пример №1.
Пример №2.
Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, в которой числитель любое натуральное число, а знаменатель равен единице.
Пример №1.
Пример №2.
Четыре яблока разделили на восьмерых человек.
Сколько яблок достанется каждому?
Общее количество яблок (четыре) разделим на количество частей (восемь).
Деление m объектов на n частей можно представить в виде обыкновенной дроби \(\mathbf<\frac
В результате получаем: \(\mathbf
Нам известно, что одну и ту же обыкновенную дробь можно представить разными способами.
Разделить целое на восемь частей и взять четыре, будет тоже самое, что разделить это же целое на две части и взять одну.
Таким образом получаем \(\mathbf<\frac<4> <8>= \frac<1><2>>\).
Дробь \(\mathbf<\frac<1><2>>\) означает по своей сути половину чего-либо, следовательно, каждому достанется по одной половинке яблока.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Примеры решения текстовых задач и решения уравнений, содержащих обыкновенные дроби
Рассмотрим несколько примеров решение уравнений и текстовых задач на нахождение неизвестного компонента арифметической операции деления.
Каждый компонент математической операции деления имеет свое название.
Взаимосвязь компонентов арифметической операции деления нам хорошо известна.
В общем виде деление мы можем записать следующим образом:
Делимое- это число, которое делят.
Делитель- это число, на которое делят делимое.
Частное- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).
Частное двух чисел можно записать в виде обыкновенной дроби, где числитель- это делимое, знаменатель- это делитель, а знак деления- это дробная черта.
Часто, решая задачи и уравнения, приходится находить неизвестный компонент операции деления.
Вспомним, по каким правилам можно найти каждый компонент деления.
Применим данные знания при решении текстовых задач и решении уравнений, содержащих обыкновенные дроби.
Правила нахождения неизвестных компонентов операции деления едино для любой формы записи частного двух чисел.
1. Нахождение неизвестного частного, если известны делимое и делитель.
Частное- это результат, полученный при выполнении деления, очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.
Зная делимое и делитель, можно найти частное, для этого необходимо делимое разделить на делитель.
Двенадцать пирожных стоят 300 рублей.
Сколько стоит одно пирожное?
300 руб.- стоимость двенадцати пирожных (делимое).
12 шт.- общее количество пирожных (делитель).
Чтобы найти частное, необходимо делимое разделить на делитель.
\(\mathbf<\frac<300> <12>= 25>\) (руб.) стоит одно пирожное.
Ответ: 25 (руб.)
2. Нахождение неизвестного делимого, если известны делитель и частное.
Правило: чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на частное).
Пример №1.
Решите уравнение \(\mathbf<\frac
Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.
Неизвестное х (числитель дроби)- делимое.
Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.
Так как числитель дроби- неизвестное делимое, следовательно, воспользуемся правилом нахождения неизвестного делимого.
Чтобы найти неизвестное делимое (х), необходимо частное (80) умножить на делитель (5).
х = 80 • 5
х = 400
Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf<\frac
400 ÷ 5 = 80
80 = 80
Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.
Ответ: х = 400.
Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делимого алгебраическим способом.
Взаимосвязь компонентов математических операций применяют для решения текстовых задач.
Решить задачу алгебраическим способом- значит найти ответ на требование задачи, путем составления уравнения.
При составлении уравнения учитывают соотношения и взаимосвязи между величинами, которые могут быть даны в условии задачи или вытекать из смысла этой задачи.
Пример №2.
Сыну восемь лет. Он младше своего отца в четыре раза.
Определите возраст отца.
Пусть х (лет) возраст отца.
Тогда \(\mathbf<\frac
Зная, что сыну 8 лет, составим уравнение.
Решим полученное уравнение.
Выражение, стоящее в левой части уравнения- это частное двух чисел.
х— неизвестное делимое.
Найдем неизвестное делимое (х), для этого необходимо найти произведение частного (8) и делителя (4).
х = 8 • 4
х = 32 (года) возраст отца.
Ответ: х = 32 (года).
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби с любым натуральным знаменателем.
В таком случае числитель этой дроби будет равен произведению этого исходного натурального числа и знаменателя этой дроби.
Представим число 23 в виде дроби со знаменателем 7.
Искомая дробь должна быть со знаменателем равным 7, числитель этой дроби обозначим буквой х.
Найдем числитель дроби \(\mathbf<\frac
Числитель (х) этой дроби будет равен произведению заданного натурального числа (23) и знаменателя (7) этой дроби.
х = 23 • 7
х = 161
Подставим найденное значение числителя дроби в искомую дробь со знаменателем 7, получим следующий результат:
Натуральное число 23 можно представить в виде дроби \(\mathbf<\frac<161><7>>\).
3. Нахождение неизвестного делителя, если известны делимое и частное.
Правило: чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Пример №1.
Решите уравнение \(\mathbf<\frac<252>
Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.
Неизвестное х (знаменатель дроби)- это неизвестный делитель.
Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.
Так как знаменатель дроби- неизвестный делитель, то воспользуемся правилом нахождения неизвестного делителя.
Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (252) разделить на частное (4).
х = 252 ÷ 4
х = 63
Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf<\frac<252>
252 ÷ 63 = 4
4 = 4
Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.
Ответ: х = 63.
Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делителя.
Пример №2.
96 шоколадных конфет разложили в подарочные коробки.
В каждую коробку положили одинаковое количество конфет, получили 12 коробок.
Сколько конфет положили в каждую коробку?
Пусть х (конф.) в одной коробке.
Тогда \(\mathbf<\frac<96>
Зная, что всего получили 12 коробок конфет, составим уравнение.
Решим полученное уравнение.
Левая часть уравнения представляет собой частное двух чисел.
Неизвестная х, стоящая в знаменателе дроби- это неизвестный делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (96) разделить на частное (12).
х = 96 ÷ 12
х = 8 (конф.) в одной коробке.
Так как в каждую коробку положили одинаковое количество конфет, то в каждой подарочной коробке окажется 8 шоколадных конфет.
Ответ: х = 8 (конф.)
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Решая уравнения и задачи алгебраическим способом, составленное уравнение часто приходится преобразовывать, применяя для этого различные методы упрощения, правила и свойства математических операций.
Рассмотрим некоторые свойства деления.
Нам известно правило: при сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.
Данное правило в буквенном виде выглядит так:
Так как дробная черта- это знак деления, то получим еще одно верное равенство, которое уже знакомо нам.
a ÷ n + b ÷ n = (a + b) ÷ n (если суммируемые частные имеют общий делитель, то можно его вынести за скобку.
Верно и обратное равенство- это свойство деления суммы чисел на число:
(a + b) ÷ n = a ÷ n + b ÷ n
Чтобы разделить сумму чисел на число, можно разделить каждое слагаемое на это число, а потом полученные частные сложить.
Подобная ситуация складывается при делении разности на число.
Заменим знак деления на дробную черту, получим известное нам свойство вычитания дробей с одинаковым знаменателем записанное справа налево.
Пример №1.
Так как дробная черта- это знак деления, то \(\mathbf<\frac<30> <10>= 30 \div 10 = 3>\).
Пример №2.
Решите уравнение \(\mathbf<\frac
Первое и второе слагаемое имеют одинаковый знаменатель, следовательно, уравнение можно записать в виде:
Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.
За неизвестное примем целое выражение х + 5.
х + 5— это неизвестное делимое.
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо найти произведение частного и делителя.
х + 5 = 3 • 5
х + 5 = 15
Получили простое уравнение с неизвестным слагаемым.
Чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы (15) вычесть известное слагаемое (5).
х = 10
Проверка: подставим в исходное уравнение \(\mathbf<\frac
3 = 3
Полученное равенство верно, следовательно, корень уравнения найден верно.
Ответ: х = 10.
Пример №3.
Решим задачу алгебраическим способом.
Купили 4 мороженных на палочке и 4 мороженных в стаканчике, причем за четыре мороженных на палочке заплатили в 2 раза больше, чем за четыре мороженных в стаканчике.
Общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей.
Сколько стоит одно мороженное в стаканчике?
Сколько стоит одно мороженное на палочке?
Пусть х (руб.)- стоят 4 мороженных в стаканчике.
Тогда 2х (руб.)- стоят 4 мороженных на палочке.
\(\mathbf<\frac
\(\mathbf<\frac<2x><4>>\)- стоит одно мороженное на палочке.
Зная, что общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей, составим уравнение.
Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, уравнение запишем в виде:
Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.
За неизвестное примем целое выражение х + 2х.
х + 2х (числитель дроби)- это неизвестное делимое.
Так как первое и второе слагаемое содержит одинаковую буквенную часть, то сложим их коэффициенты и умножим на буквенную часть.
х + 2х = (1 + 2) • х = 3х
Исходное уравнение примет вид:
В данном уравнении 3х— неизвестное делимое.
Чтобы найти неизвестное делимое (3х), необходимо частное (120) умножить на делитель (4).
3х = 120 • 4
3х = 480
Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
х = 480 ÷ 3
х = 160 (руб.) стоят четыре мороженных в стаканчике.
Известно, что одно мороженное в стаканчике стоит \(\mathbf<\frac
\(\mathbf<\frac
Известно, что \(\mathbf<\frac<2x><4>>\) (руб.) стоит одно мороженное на палочке, подставим вместо х найденное его значение (х = 160).
\(\mathbf<\frac<2x> <4>= (2 \cdot x) \div 4 = (2 \cdot 160) \div 4 = 320 \div 4 = 80>\) (руб.) стоит одно мороженное на палочке.
Ответ: 40 (руб.), 80 (руб.)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации