Как называется вторая степень числа
Числа. Степень числа.
То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».
Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается так
Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а
Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1
Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a 1 = a
Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.
-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.
-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.
— при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Если решить несколько примеров на вычисление степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей получаем отрицательное значение.
Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.
Свойства степени с натуральным показателем.
Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:
При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.
например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6
Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель
При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби
Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.
При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.
Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.
Степень числа: определения, обозначение, примеры
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).
Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.
Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.
Что такое степени с целым показателем
В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.
Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: 
.
При этом n – любое целое положительное число.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Что такое степени с рациональным показателем
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
Что такое степени с иррациональным и действительным показателем
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).
Что такое степень числа
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:
Исключение составляют записи:
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Степень числа
Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.
Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:
Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5 3 (пять в третьей степени). Выражение 5 3 — это степень. Следовательно,
Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.
Читаются степени так:
Пример. Записать в виде степени:
б) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 4 ;
Возведение в степень
Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:
2 — это основание степени, 3 — показатель степени, 8 — степень.
a) 11 2 = 11 · 11 = 121;
б) 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;
в) 10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.
Выражения со степенями. Порядок действий
Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.
Рассмотрим два выражения:
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.
5 2 + 2 2 = 25 + 4 = 29,
Пример 1. Найти значение выражения:
Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:
Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:
И последним действием вычисляется произведение:
Пример 2. Вычислить:
Калькулятор возведения в степень
ВОПРОСЫ
«Восемь в пятой степени» или «пятая степень числа 8».
3. Как называют вторую степень числа? Третью степень числа?
5. Чему равна первая степень числа?
Степень числа «а» с показателем n=1 является само это число, то есть а 1 =а.
6. В каком порядке выполняют вычисления, если в числовое выражение входит степень?
РЕШАЕМ УСТНО
1. Решите уравнение:
2. Верно ли равенство 90 = 145 + 20? Можно ли утверждать, что при делении 90 на 14 получим неполное частное 5 и остаток 20?
3. Вася разложил 60 яблок на кучки по 8 яблок, и еще 4 яблока у него осталось. На сколько кучек Вася разложил яблоки?
4. Турист должен преодолеть маршрут длиной 25 км. После того как он шёл 4 ч с одной и той же скоростью, ему осталось пройти 1 км. С какой скоростью шёл турист?
5. На двух участках росло 20 кустов роз. После того как с первого участка пересадили 2 куста роз на второй, на обоих участках стало по 10 кустов роз. Сколько кустов роз росло на каждом участке?
УПРЖНЕНИЯ
548. Назовите основание и показатель степени:
549. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:
550. Найдите значение выражения:
551. Найдите значение выражения:
552. Вычислите:
553. Вычислите:
554. Найдите значение выражения:
555. Найдите значение выражения:
556. Запишите в виде степени с основанием 3 число: 1) 9; 2) 27; 3) 243; 4) 81.
557. Запишите в виде степени с основанием 2 число: 1) 4; 2) 16; 3) 32; 4) 256.
558. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8; 2) разность квадратов чисел 6 и 2; 3) квадрат разности чисел 6 и 2; 4) разность куба числа 3 и квадрата числа 5.
559. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) куб разности чисел 9 и 8; 2) квадрат суммы чисел 8 и 7; 3) сумма квадратов чисел 8 и 7; 4) разность кубов чисел 4 и 1.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
560. Решите уравнение:
561. Для приготовления десяти порций мороженого используют 200 г сахара. На сколько порций мороженого хватит 500 г сахара?
562. Вася задумал трёхзначное число, у которого с каждым из чисел 652, 153 и 673 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумал Вася?
Вася задумал число 172.
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
563. В очереди за билетами в цирк стояли Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша. Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа. Петя и Наташа не стояли рядом, а Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей. Кто за кем стоял в очереди?